Portakal Üzerinde Karınca veya Basketbol Topu Üzerinde Pire

Başlığı son zamanlarda türeyen ilginç müzik gruplarının isimlerine benzetebilirsiniz ancak şenörlük ciddi bir müessesedir rock,indie,heavy metal,new age falan bilmez, daha çok musiki … her neyse amacım bu başlıktan yola çıkarak üstad Gauss’un da 250 yıl önce kafasını meşgul etmiş bazı sorulara cevap bulmak.

 “Başlıkta sözü geçen iki canlının ortak özelliği nedir ? “  diye sorarak konuya başlayabiliriz. Hemen soruda bir hile var mı diye şöyle bir baktınız değil mi ? Hiç bakmayın bu soruda kelime oyunu yok. Sadece bir haritacı gözüyle düşünsek ve desek ki : “ Gauss olsa ne düşünürdü ? ” Mesela portakal ve basketbol topu : her ikisi de yuvarlak şekilli, dolayısı ile eğri yüzeyleri vardır. Ayrıca karıncayı portakalla pireyi de basketbol topuyla karşılaştırdığımız zaman boyutlarının çok farklı olduğunu söyleyebiliriz.

İlk soruyu cevapladığımıza göre asıl soruya geçebiliriz ;

“Karınca yada pire üzerinde bulundukları yüzeylerin eğri yüzeyler olduğunu anlayabilirler mi ?”

Şu noktada evet diyenlerde hayır diyenlerde haklı olabilir çünkü karınca ve pire örneğini boyut vurgusu için verdiğimiz aşikar, ancak istediğimiz sonuca erişmek için bazı ek koşullar daha koymamız gerekebilir ;

Koşul 1: Karınca bildiğimiz üzere kolları üzerinde gövdesi yere paralel olarak hareket eden bir canlı dolayısı ile ayakları üzerinde kalkıp etrafı kolaçan edemez.

Koşul 2: Pire zıplamayı pek sevmiyor. Yani boyunun defalarca katı zıplayıp bulunduğu yüzeye yukarıdan bakmak gibi bir şansı yok.

Koşul 3: Her iki canlıyı da Kafka karakteri gibi böcek vücudunda insanlar olarak düşünmeliyiz ve yanlarına çektikçe uzayan sonsuz uzunlukta çelik şerit metre verdiğimizi hayal etmeliyiz.

Bu koşullar altında cevap “evet anlayabilirler” oluyor.

 

Peki ama nasıl ?  

Düzlem bir yüzeyde mi eğri bir yüzeyde mi olduğumuzu sadece uzunluk ölçerek nasıl anlayabiliriz  ?

Öncelikle düz bir yüzey nedir ? Eğri bir yüzey nedir ? Bunları tanımlayıp daha sonra farklarını incelememiz gerekiyor.

Bu soru 1818 yılında Hannover’de jeodezik ağları birbirine bağlamaya çalışan Gauss’un da aklına takılmıştır. Gauss uzun mesafelerde üçgenleme yaparken bakılacak noktaların ayırt edilebilmesini sağlamak amacı ile nirengi noktalarına yerleştirilen ve aynalar yardımı ile güneş ışığını hedefe yansıtan heliotropları icat etmiştir.

Heliotrope2-2
Heliotrop ve Kavruk Şenör (Wikipedia-Heliotrope)

Ancak Gauss ne kadar iyi ölçüm yapılırsa yapılsın ağların yanlış değerler sebebiyle kapanmadığını hatta mesafeler arttıkça daha kötü değerler elde edildiğini keşfetti. Bunun sonucunda Theorema Egregium ortaya çıktı. Bu teori temelde şunu söylemekte ;

Gauss eğimi sıfırdan farklı olan hiçbir yüzey bozulma olmaksızın Gauss eğimi sıfır olan bir yüzeye aktarılamaz.

Yani düzlem, silindir, koni gibi Gauss eğimi sıfır olan yüzeyler dışındaki tüm yüzeyler belirli distorsiyonlar olmadan düzleme açılamaz.

Peki Gauss eğriliği sıfır olan yüzeylerden ne anlamalıyız ? 

Gauss eğriliği paralellik başarısızlığını ölçen bir araçtır. Gauss eğriliği sıfır olan yüzeylere geliştirilebilir yüzeyler denir.

 

Geliştirilebilir yüzeylerin en önemli özelliği hiç zorlama olmadan direkt bir düzleme açılabilmeleridir.

Geliştirilebilir yüzeylerden silindir ve koni
Geliştirilebilir yüzeylerden koni ve silindir (www.rhino3.de)

Örnek olarak koni, silindir, düzlem verilebilir.

Peki Gauss eğriliği nedir ?

Gauss eğriliği formülü şu şekilde gösterilir ;

gk

k1 ve k2 değerleri belirli yönlerdeki eğrilikleri temsil eder. Örneğin ; yukarı ve sağa doğru. Bir yüzeyin Gauss eğriliği formülden de anlaşılacağı üzere pozitif ,negatif yada sıfır olabilir.

Eğri yüzeyler hangileridir ?

Eğri yüzeyler Gauss eğriliği sıfırdan farklı olan , düz bir yüzeye açılmak istendiğinde distorsiyon(bozulma, zorlama) olmadan aktarılamayan yüzeylerdir. Küre ve elipsoit bunun en güzel örnekleridir. Bu yüzeylerde görsel olarak distorsiyonların gösterimi şekildeki gibi Tissot İndikatrisi ile olur. Bu indikatris geliştirilebilir olmayan yüzey üzerinde olan bir dairenin düzlem üzerine projeksiyonu yapıldığında nasıl bir bozulmaya uğradığını gösterir.

Solda Merkator Projeksiyonu indikatris daireleri sağda küre üzerinde bozulmamış daireler
Solda Merkator Projeksiyonu indikatris daireleri sağda küre üzerinde bozulmamış daireler (http://gis.stackexchange.com/questions/5068/how-to-create-an-accurate-tissot-indicatrix)

Dünya haritasında Rusya, Kanada gibi ülkeler harita üzerinde gerçekte olduklarından daha büyük görünür sebebi de yukarıda açıkladığımız Theorema Egregium‘dur. Nicole Auguste Tissot(1824–1897) ise yukarıdaki şekiller ile bu teorinin anlaşılmasını kolaylaştırmıştır.  Kuzey ülkeleri silindirik merkator projeksiyonunda olduklarından daha büyük , ekvatora yakın ülkeler ise gerçek büyüklerine yakın görünürler. Ayrıca daireler daire olarak kaldığından şekilde bir bozulma olmadığı için genelde dünya haritaları Silindirik Mercator projeksiyonu ile gösterilir.

Şimdi karıncanın yada pirenin eğri bir yüzeyde olduğunu nasıl anlayacağına gelirsek ;

karıncayı düz bir yüzeyde hayal edelim, mesela masada duran bir kağıt üzerinde. Karınca Pisagor teoreminden yola çıkarak bulunduğu noktadan herhangi bir yöne 3 cm yürür ve bir işaret koyar. Daha sonra başlangıç noktasına geri dönüp elinden geldiğince ilk yürüdüğü hatta dik olacak şekilde 4 cm yürür ve yine bir işaret koyar. İki noktayı birleştiren en kısa çizginin (3^2)+(4^2) = x^2’den x = 5 olacağını kestirir ve ölçtüğünde de bu değeri bulur.

output_kIuJ1p
Benim karıncam işini bilir.

Eğimli yüzeylerde ise iki nokta arasındaki en kısa mesafe eğri bir çizgidir. Bu eğriler kartografya derslerinden bildiğimiz ortodrom eğrileridir. Gemi ve uçaklar bu eğrileri sıkça kullanır. Kağıt üstündeki işlem eğri bir yüzeyde tekrarlandığında ise küresel üçgen formülleri kullanılmadığı için sonuç beş çıkmayacaktır. Çünkü düzlemde şu formül geçerli iken ;

Kosinüs teoremi
Kosinüs teoremi

küresel üçgenlerde iki kenar bir açı verilmişse şu formül kullanılır ;

kureselcos

Şu ana kadar öğrendiklerimizle yüzey eğimli mi değil mi sorusuna rahatça cevap verebiliriz. Düzlem yüzeyler ile eğri yüzeyler arasındaki farklılık tam olarak nasıl belirlenir merak eden varsa tensör hesabı denilen karmaşık diferansiyel geometri hesapları ile yüzeyin eğriliğini net bir şekilde belirleyebilir.

İyi de ne ben bunu gerçek hayatta kullanacak mıyım ?

Cevap hem evet hem hayır. Dayalı poligon hesabı yaparken, yüzey eğriliğini bir katsayı olarak bulup (g) uzunluklar ile çarptığımızı  hatırlamakla beraber ,  doğrusal kapanma hatasını azaltmakta kullanılabilir ancak kısa mesafelerde yüzey eğriliği çok önemli değildir. Hatta kaba hatalar yüzey eğriliği sebebiyle ortaya çıkan hatanın kat kat üzerindedir. Kaba hatalar indirgendikten sonra tensör hesabı genelde yapılmaz . Ancak eğer çok hassas hesaplama gerektiren bir işte çalışıyorsak(örneğin metro raylarının döşenmesi) yada uzun baz uzunluğuna sahip jeodezik ağlar kuruyorsak (Gauss gibi) tensör hesaplarına ihtiyaç duyarız.

KAYNAKLAR

  • http://www.lightandmatter.com/html_books/genrel/ch05/ch05.html#eg:octant
  • http://megep.meb.gov.tr/mte_program_modul/moduller_pdf/Hesap%20%C4%B0%C5%9Flemleri.pdf
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Heliotrope_(instrument)
  • http://mathworld.wolfram.com/GaussianCurvature.html
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Theorema_Egregium
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Tissot%27s_indicatrix