Gauss bunu sevdi

C.F. Gauss’un nasıl bir bilim adamı olduğunu artık öğrendiğimize göre artık biraz daha derine inerek Gauss’un paylaştığı fikirlerinden bir kaç tanesini anlamaya çalışmak istiyorum. Bunlardan ilki Gauss’un bulmaktan en çok gurur duyduğu şey yani Heptadekagon (Onyedigen)’un pergel ve cetvelle çizilebileceğinin ispatı.

Heptanegon ? 

Geometride heptadekagon ; 17 kenarlı bir poligon yani onyedigendir.

Gauss bu sorunun çözümünü henüz 19 yaşındayken bulmuştur.

Haritacı ve Zalım Yrd. Doç( Raffaello Sanzio, 1509)
Haritacı ve Zalım Yrd. Doç.( Raffaello Sanzio, 1509)

Başta Öklit ve Arşimet olmak üzere Antik Yunan düşünürleri bu konu üzerine kafa yormuşlardır. Eski zamanlarda bir teorik bilginin gösterilmesi için şimdiki gibi imkanlar olmadığından insanlar bilimsel aletleri mümkün olduğunca basit tutarak basit aletler üzerinden zor problemleri çözmeye uğraşmışlardır. Dolayısı ile problem çözerken sade cetvel (üzerinde yazı olmayan, sadece cetvelin boyu kadar olan uzunlukların kesin ölçülebildiği düz bir cisim) ve pergel kullanmak eski zamanlardan beri kabul edilmiş bir standarttı.

İ.Ö 323 – 283 yılları arasında yaşadığı düşünülen Öklit, geometri ile ilgili yazdığı Elements isimli eserinde 3,4,5 ve 15 kenarlı poligonların sade bir cetvel ve pergelle çizilebileceğini belirtmiştir. Bu yöntem ile bir eş kenar üçgen elde etmek için ;

  • Cetvelle düz bir çizgi çekilir.
  • Çizginin iki ucu merkez olacak şekilde iki daire çizilir.
  • Dairelerin kesişim noktalarından herhangi birisi ile çizginin kenarlarını bireştirdiğimizde aşağıdaki gibi eş kenar bir üçgen elde etmiş oluruz.  
Eşkenar üçgen elde edilmesi (Constructibility of Regular Polygons-Eric T. Eekhoff)
Öklit’in eşkenar üçgen elde etme yöntemi (Constructibility of Regular Polygons-Eric T. Eekhoff)

Bunun devamı olarak aynı yöntemle diğer çok genlerde oluşturulup daha sonra kenarlarının ikiye bölünmesi yöntemi ile 6, 8, 10, 12, 16, 20 köşeli poligonların şu şekilde ;

Öklit'in onbeşgenden diğer çokgenleri elde etmesi (Constructibility of Regular Polygons-Eric T. Eekhoff)
Öklit’in onbeşgenden diğer çokgenleri elde etmesi (Constructibility of Regular Polygons-Eric T. Eekhoff)

 

oluşturulabileceği zaten bilinmekteydi. Ancak bir onyedigenin oluşturulmasının imkansız olduğu düşünülüyordu. Bunun sebebi ; basit bir şekilde onyedigenin kenar uzunluklarının diğer şekillerden elde edilen kenarlara tam bölünerek bulunamamasıydı. Gauss yazımını 1798 yılında tamamladığı ancak 1801’de yayımlanan Disquisitiones Arithmeticae adlı eserinin son kısmında düzgün bir onyedigenin sade cetvel ve pergel kullanılarak çizilebileceğini kanıtlayarak antik zamanlardan beri matematikçilerin başaramadığını başarmıştır ve onyedigenin eski yöntemler ile çizilebileceğini ispatlamıştır. Bunun için yine kendi döneminde bir çok matematikçinin üzerinde çalıştığı Fermat asallarını kullanmıştır. Fermat asalları nedir peki ?

2^(2^(n))+1 şeklindeki sayılar Fermat sayılarıdır. Eğer bu ifadenin sonucu asal ise sayıysa bu sayıya Fermat Asalı denir.

Günümüzde bilinen sadece 5 tane Fermat Asalı vardır ;

  •  F0 = 21 + 1 = 3
  • F1 = 22 + 1 = 5
  • F2 = 24 + 1 = 17
  • F3 = 28 + 1 = 257
  • F4 = 216 + 1 = 65537

Matematikçiler daha fazla fermat asalı var mı emin değiller.

Gauss’un bulduğu çözüm aslında basit ve açıktı ;

Düzgün  bir on yedigen çizeceğimiz zaman ;

360 = 17* $ denklemindeki $’nin kosinüsü karekök olarak ifade edilebilirse bu problem çözülebilirdi. (Bu durumda cos($) birim çember üzerinde bulunan bir on yedigen köşesinin X koordinatını ifade eder. ) Gauss bu problemi çözdüğüne öyle gururlanır ki sadece bunu en iyi buluşu olarak tanımlamakla kalmaz , öldükten sonra mezar taşına kendi yöntemi ile düzgün bir on yedigen çizilmesini vasiyet eder. Ancak o dönemde ki hiç bir taş ustası bu işi kabul etmez çünkü ortaya çıkacak olan şeklin bir daireden ayırt edilemeyeceğini söylerler.

Taş ustalığı teknikleri ilerledikçe ilerideki yıllarda Braunschwig’deki Gauss anıtına bu şekil yıldız olarak kazınır.stern

Peki neden bu kadar önemli ? 

Gerçek şu ki ; biz bilgisayar çağı insanları kaç gen çizmeye ihtiyaç duyarsak duyalım bunu rahatça yapabileceğimiz çizim programlarına sahibiz . Dolayısı ile bu bilgi pratikte neredeyse hiç kimsenin işine yarayacak bir bilgi değildir ancak matematikçiler ve yazılımcılar hariç. Matematikçiler zaten bunun gibi bir çok ilginç problemle işleri dolayısı ile uğraşmakta , yazılımcılar ise bizlerin kullandığı programlara poligon çizme algoritmaları yaparken Gauss’un bulduğu formüller gibi bir çok formülden faydalanırlar.Amaçları optimizasyon yada çözünürlüğü arttırmak olabilir.( Çok genin köşe sayısı arttıkça şekil daireye yaklaşır ; ne kadar köşe o kadar düzgün daire)

http://www.losavancesdelaquimica.com/wp-content/uploads/heptadecagon.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon

http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html

http://gaussschule-braunschweig.de/?page_id=1733

Portakal Üzerinde Karınca veya Basketbol Topu Üzerinde Pire

Başlığı son zamanlarda türeyen ilginç müzik gruplarının isimlerine benzetebilirsiniz ancak şenörlük ciddi bir müessesedir rock,indie,heavy metal,new age falan bilmez, daha çok musiki … her neyse amacım bu başlıktan yola çıkarak üstad Gauss’un da 250 yıl önce kafasını meşgul etmiş bazı sorulara cevap bulmak.

 “Başlıkta sözü geçen iki canlının ortak özelliği nedir ? “  diye sorarak konuya başlayabiliriz. Hemen soruda bir hile var mı diye şöyle bir baktınız değil mi ? Hiç bakmayın bu soruda kelime oyunu yok. Sadece bir haritacı gözüyle düşünsek ve desek ki : “ Gauss olsa ne düşünürdü ? ” Mesela portakal ve basketbol topu : her ikisi de yuvarlak şekilli, dolayısı ile eğri yüzeyleri vardır. Ayrıca karıncayı portakalla pireyi de basketbol topuyla karşılaştırdığımız zaman boyutlarının çok farklı olduğunu söyleyebiliriz.

İlk soruyu cevapladığımıza göre asıl soruya geçebiliriz ;

“Karınca yada pire üzerinde bulundukları yüzeylerin eğri yüzeyler olduğunu anlayabilirler mi ?”

Şu noktada evet diyenlerde hayır diyenlerde haklı olabilir çünkü karınca ve pire örneğini boyut vurgusu için verdiğimiz aşikar, ancak istediğimiz sonuca erişmek için bazı ek koşullar daha koymamız gerekebilir ;

Koşul 1: Karınca bildiğimiz üzere kolları üzerinde gövdesi yere paralel olarak hareket eden bir canlı dolayısı ile ayakları üzerinde kalkıp etrafı kolaçan edemez.

Koşul 2: Pire zıplamayı pek sevmiyor. Yani boyunun defalarca katı zıplayıp bulunduğu yüzeye yukarıdan bakmak gibi bir şansı yok.

Koşul 3: Her iki canlıyı da Kafka karakteri gibi böcek vücudunda insanlar olarak düşünmeliyiz ve yanlarına çektikçe uzayan sonsuz uzunlukta çelik şerit metre verdiğimizi hayal etmeliyiz.

Bu koşullar altında cevap “evet anlayabilirler” oluyor.

 

Peki ama nasıl ?  

Düzlem bir yüzeyde mi eğri bir yüzeyde mi olduğumuzu sadece uzunluk ölçerek nasıl anlayabiliriz  ?

Öncelikle düz bir yüzey nedir ? Eğri bir yüzey nedir ? Bunları tanımlayıp daha sonra farklarını incelememiz gerekiyor.

Bu soru 1818 yılında Hannover’de jeodezik ağları birbirine bağlamaya çalışan Gauss’un da aklına takılmıştır. Gauss uzun mesafelerde üçgenleme yaparken bakılacak noktaların ayırt edilebilmesini sağlamak amacı ile nirengi noktalarına yerleştirilen ve aynalar yardımı ile güneş ışığını hedefe yansıtan heliotropları icat etmiştir.

Heliotrope2-2
Heliotrop ve Kavruk Şenör (Wikipedia-Heliotrope)

Ancak Gauss ne kadar iyi ölçüm yapılırsa yapılsın ağların yanlış değerler sebebiyle kapanmadığını hatta mesafeler arttıkça daha kötü değerler elde edildiğini keşfetti. Bunun sonucunda Theorema Egregium ortaya çıktı. Bu teori temelde şunu söylemekte ;

Gauss eğimi sıfırdan farklı olan hiçbir yüzey bozulma olmaksızın Gauss eğimi sıfır olan bir yüzeye aktarılamaz.

Yani düzlem, silindir, koni gibi Gauss eğimi sıfır olan yüzeyler dışındaki tüm yüzeyler belirli distorsiyonlar olmadan düzleme açılamaz.

Peki Gauss eğriliği sıfır olan yüzeylerden ne anlamalıyız ? 

Gauss eğriliği paralellik başarısızlığını ölçen bir araçtır. Gauss eğriliği sıfır olan yüzeylere geliştirilebilir yüzeyler denir.

 

Geliştirilebilir yüzeylerin en önemli özelliği hiç zorlama olmadan direkt bir düzleme açılabilmeleridir.

Geliştirilebilir yüzeylerden silindir ve koni
Geliştirilebilir yüzeylerden koni ve silindir (www.rhino3.de)

Örnek olarak koni, silindir, düzlem verilebilir.

Peki Gauss eğriliği nedir ?

Gauss eğriliği formülü şu şekilde gösterilir ;

gk

k1 ve k2 değerleri belirli yönlerdeki eğrilikleri temsil eder. Örneğin ; yukarı ve sağa doğru. Bir yüzeyin Gauss eğriliği formülden de anlaşılacağı üzere pozitif ,negatif yada sıfır olabilir.

Eğri yüzeyler hangileridir ?

Eğri yüzeyler Gauss eğriliği sıfırdan farklı olan , düz bir yüzeye açılmak istendiğinde distorsiyon(bozulma, zorlama) olmadan aktarılamayan yüzeylerdir. Küre ve elipsoit bunun en güzel örnekleridir. Bu yüzeylerde görsel olarak distorsiyonların gösterimi şekildeki gibi Tissot İndikatrisi ile olur. Bu indikatris geliştirilebilir olmayan yüzey üzerinde olan bir dairenin düzlem üzerine projeksiyonu yapıldığında nasıl bir bozulmaya uğradığını gösterir.

Solda Merkator Projeksiyonu indikatris daireleri sağda küre üzerinde bozulmamış daireler
Solda Merkator Projeksiyonu indikatris daireleri sağda küre üzerinde bozulmamış daireler (http://gis.stackexchange.com/questions/5068/how-to-create-an-accurate-tissot-indicatrix)

Dünya haritasında Rusya, Kanada gibi ülkeler harita üzerinde gerçekte olduklarından daha büyük görünür sebebi de yukarıda açıkladığımız Theorema Egregium‘dur. Nicole Auguste Tissot(1824–1897) ise yukarıdaki şekiller ile bu teorinin anlaşılmasını kolaylaştırmıştır.  Kuzey ülkeleri silindirik merkator projeksiyonunda olduklarından daha büyük , ekvatora yakın ülkeler ise gerçek büyüklerine yakın görünürler. Ayrıca daireler daire olarak kaldığından şekilde bir bozulma olmadığı için genelde dünya haritaları Silindirik Mercator projeksiyonu ile gösterilir.

Şimdi karıncanın yada pirenin eğri bir yüzeyde olduğunu nasıl anlayacağına gelirsek ;

karıncayı düz bir yüzeyde hayal edelim, mesela masada duran bir kağıt üzerinde. Karınca Pisagor teoreminden yola çıkarak bulunduğu noktadan herhangi bir yöne 3 cm yürür ve bir işaret koyar. Daha sonra başlangıç noktasına geri dönüp elinden geldiğince ilk yürüdüğü hatta dik olacak şekilde 4 cm yürür ve yine bir işaret koyar. İki noktayı birleştiren en kısa çizginin (3^2)+(4^2) = x^2’den x = 5 olacağını kestirir ve ölçtüğünde de bu değeri bulur.

output_kIuJ1p
Benim karıncam işini bilir.

Eğimli yüzeylerde ise iki nokta arasındaki en kısa mesafe eğri bir çizgidir. Bu eğriler kartografya derslerinden bildiğimiz ortodrom eğrileridir. Gemi ve uçaklar bu eğrileri sıkça kullanır. Kağıt üstündeki işlem eğri bir yüzeyde tekrarlandığında ise küresel üçgen formülleri kullanılmadığı için sonuç beş çıkmayacaktır. Çünkü düzlemde şu formül geçerli iken ;

Kosinüs teoremi
Kosinüs teoremi

küresel üçgenlerde iki kenar bir açı verilmişse şu formül kullanılır ;

kureselcos

Şu ana kadar öğrendiklerimizle yüzey eğimli mi değil mi sorusuna rahatça cevap verebiliriz. Düzlem yüzeyler ile eğri yüzeyler arasındaki farklılık tam olarak nasıl belirlenir merak eden varsa tensör hesabı denilen karmaşık diferansiyel geometri hesapları ile yüzeyin eğriliğini net bir şekilde belirleyebilir.

İyi de ne ben bunu gerçek hayatta kullanacak mıyım ?

Cevap hem evet hem hayır. Dayalı poligon hesabı yaparken, yüzey eğriliğini bir katsayı olarak bulup (g) uzunluklar ile çarptığımızı  hatırlamakla beraber ,  doğrusal kapanma hatasını azaltmakta kullanılabilir ancak kısa mesafelerde yüzey eğriliği çok önemli değildir. Hatta kaba hatalar yüzey eğriliği sebebiyle ortaya çıkan hatanın kat kat üzerindedir. Kaba hatalar indirgendikten sonra tensör hesabı genelde yapılmaz . Ancak eğer çok hassas hesaplama gerektiren bir işte çalışıyorsak(örneğin metro raylarının döşenmesi) yada uzun baz uzunluğuna sahip jeodezik ağlar kuruyorsak (Gauss gibi) tensör hesaplarına ihtiyaç duyarız.

KAYNAKLAR

  • http://www.lightandmatter.com/html_books/genrel/ch05/ch05.html#eg:octant
  • http://megep.meb.gov.tr/mte_program_modul/moduller_pdf/Hesap%20%C4%B0%C5%9Flemleri.pdf
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Heliotrope_(instrument)
  • http://mathworld.wolfram.com/GaussianCurvature.html
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Theorema_Egregium
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Tissot%27s_indicatrix

Adam var adam gibi : Carl Friedrich Gauss

 


Madam değil Adam Adam


Bir kişinin mühendis olup Gauss ismini duymama ihtimali var mıdır ?

 Meslektaşları tarafından  “Princeps mathematicorum”  yani Matematiğin Prensi olarak adlandırılan(Zeidler, Eberhard (2004)) Gauss, Matematik başta olmak üzere;

  • Jeodezi
  • Sayı Teorisi
  • Cebir
  • Diferansiyel Geometri
  • İstatistik
  • Astronomi
  • Optik

gibi bir çok bilim dalını yaptığı araştırmalar ve buluşları ile etkileyerek lakabını sonuna kadar hak etmiştir.(İsmini Gauss’tan alan tüm bilimsel terimler tam sıralı liste için tıklayın.)

Biz harita mühendisleri içinse ünlü Alman yazar Friedrich Nietschze’nin tabiri ile “Übermensch” yani insanüstü bir kişiliktir. Nasıl olmasın ki ? Jeodezide kullanılan küresel üçgen hesaplarını Gauss sayesinde yaptık, henüz ilkokuldayken öğretmenimiz 1’den 50’ye kadar olan sayıların toplamanı bulmamızı istediğinde Gauss metodu ile hesapladık , lisede elektrik alan bulurken Gauss Yasası ve gezegenlerin çekim kuvvetlerini bulurken Gauss yer çekimi yasasından faydalandık, üniversitede hata kuramı dersinde hataları dağıtırken Gauss Dağılımı ile hataları dağıttık ve adını hatırlayamadığım daha bir çok konuda çoğunlukla Gauss’un bulduğu yada geliştirmiş olduğu teoremler ve formülleri kullandık.

Pauce sed Matura (Latince : Az ama olgun) felsefesi sebebi ile Gauss bitmemiş yada mükemmel olmayan hiçbir çalışmasını yayımlamazdı.

Matematik tarihçisi Eric Temple Bell’ e göre “eğer Gauss notlarında yer alan ancak yeterince olgunlaşmamasını bahane ederek yayımlamadığı tüm fikirlerini hayattayken yayımlasaydı matematik 50 yıl daha ileride olurdu”. Ancak bütün bu çalışmalarına rağmen popüler kültürde hala hak ettiği ilgiyi görmemesi ilginçtir. Şanslıyız ki Gauss düzenli günlük tutan ve aklından geçen her şeyi bu günlüklere yazmaya üşenmeyen bir insandı. Peki jeodeziye bu kadar katkıda bulunan bir insanken Gauss hakkında harita mühendisleri olarak ne biliyoruz ? Jeodezi bilimine kazandırdığı önemli buluşlarından kaç tanesini sayabiliriz ? Bu konulara girmeden önce Gauss’u daha iyi tanıyabilmek için hayatının kısa bir özetini paylaşarak başlamak istiyorum. Wichita State Üniversitesi Matematik Bölümü profesörlerinden William Richardson’un kısa Gauss biyografisini kendisinin de izni ile paylaşıyorum ;

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss(1777-1855) 19. yüzyılın en büyük matematikçisi olarak düşünülür. Onun buluşları ve geride bıraktığı notlar; sayı teorisi , astronomi, jeodezi, fizik ve özellikle elektromanyetizm çalışmalarını doğrudan etkilemiş ve kalıcı bir iz bırakmıştır.

Gauss 30 Nisan 1777’de Brunswick , Almanya’da fakir, işçi sınıfı bir ailede dünyaya geldi. Babası bahçıvanlık ve taş ustalığı yapan , namuslu , dürüst bir adamdı. Ancak konu ebeveynliğe gelince okula gitmemesi için oğlunun cesaretini kırmaya çalışan sert bir babaydı çünkü oğlunun bir gün babasının işini devam ettireceğini hayal ediyordu. Babasından pek bir destek göremeyen Gauss’un talihi annesi ve onun dehasını erken yaşlarda keşfeden ve bu yeteneğinin eğitimle geliştirilmesi gerektiğini düşünen amcası Friedrich sayesinde gülecekti.  

10 yaşıda aritmetik dersindeyken öğretmenin verdiği “1’den 100’e kadar olan tüm sayıları yazıp toplama” ödevinde Carl bir matematik dehası olarak hünerlerini sergiledi. Öğretmen bu görevin ilkokul öğrencileri için çok zaman alacak bir iş olduğunu düşünse de genç Carl kağıdını hemen öğretmenin masasına bıraktı. Çok sonra diğer çocuklarda hesaplamayı bitirdi ve dersin sonunda sonuçlar incelenirken cevapların çoğunun yanlış olduğu anlaşıldı ancak hoca Carl’ın kağıdında tek bir sayı gördü ve donakaldı. Carl hocasına bu sonucu , 1+99 = 100, 2+98 = 100 ilişkisini görüp 1’den 100’e kadar bu şekilde 50 sayı çifti olduğundan 50×101 = 5050 olarak sonucu bulduğunu söyledi.

14 Yaşında Zeki Bir Velet

Gauss, 14 yaşındayken Brunswick Dükü Carl Wilhelm Ferdinand’ın yardımı ile eğitimini sürdürebiliyordu. Gauss ile tanışan Dük onun fotografik hafıza yeteneğinden o kadar etkilendi ki onun Caroline Kolej’de eğitimini devam ettirmesi için finansal garantör oldu. Üniversite yıllarının sonlarına doğru Gauss bu sefer öyle muazzam bir buluş yaptı ki Gauss’tan önceki matematikçiler bunun imkansız olduğunu düşünüyordu. Bulduğu şey ise ; 17 kenarlı eşkenar bir poligonun sade bir cetvel ve pergel ile çizilebileceği idi.

(Ç.N ; Çokgenlerin sade cetvel ve pergel ile çizilmesi sorunsalı Öklid(M.Ö. 330-275)’ten beri yüzyıllardır matematikçilerin uğraştığı bir konudur. Burada bahsedilen sade cetvel (orj. Straight edge) tanımı ; düz kenarlı olan, üzerinde hiçbir belirteç olmayan, yalnızca cetvelin boyu kadar olan uzunlukları tam olarak ölçe bilmeyi sağlayan basit bir alettir)

Bu buluş Gauss’u öyle mutlu etti ve gururlandırdı ki edebiyat okuma isteğinden vazgeçip matematiğe yöneldi. Gauss Göttingen Üniversitesi’nde araştırmalarını sürdürürken Dük Ferdinand genç dostuna mali destek vermeye devam etti. Gauss buradayken her cebirsel denklemin en az bir kökü veya çözümü olduğunu ispat etti. Bu yüzyıllar boyunca matematikçileri uğraştıran ve “temel cebir teoremi” adı verilen teoremdir.

Gauss’un bundan sonraki keşfi ise matematikten tamamen farklı bir alanda oldu. 1801 yılında gök gözlemcileri(astronomlar) gezegen olduğunu düşündükleri Ceres adında bir gök cismi keşfettiler. Daha sonra bir sebepten ötürü bu cismi gökyüzünde kaybettiler ancak yaptıkları gözlemler Gauss’a iletilmişti. Gauss, astronomların yaptığı gözlemlerden bu gök cisminin rotasını hesapladı ve bir daha ne zaman ve nerede görülebileceğini tam olarak söyledi.(Ç.N : Hata kuramında enterpolasyon) Ayrıca astroidlerin yörüngelerini belirleyecek yeni bir yöntem üzerine de çalıştı. Bu çalışmalar sonucunda 23 Şubat 1855 yılında Göttingen Üniversitesi’nde matematik profesörü ünvanı aldı ve gözlem evi başkanlığı görevine getirildi. Ölene kadar bu görevleri sürdürmüştür.

Carl Friedrich Gauss, hayatını matematiğe adamış dahi olarak fikirlerini, karşılaştığı sorunları ve çözümlerini gizli günlüklerde saklamıştır. Bitmeyen yada mükemmel olduğuna inanmadığı hiç bir teorisini yayımlamamıştır.Buna rağmen Arşimet ve Newton ile beraber yaşamış en büyük üç matematikçiden birisi olarak düşünülmektedir.”

Kaynaklar

  • https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_things_named_after_Carl_Friedrich_Gauss
  • http://nzmaths.co.nz/gauss-trick-staff-seminar
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_law_for_gravity#cite_ref-Griffiths_1-0
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution
  • Bell (1986)
  • Çevirinin orijinaline şuradan ulaşabilirsiniz.