Tarihi Haritalar Furyası Başladı

Sosyal medyayı yakından takip eden şenörlere yabancı gelmeyecek bir konu ; tarihi verilerin internet ortamına aktarılması.
Burada tarihi haritadan kasıt arkeolojik verilerin internet ortamına aktarılarak her gün kullandığımız haritalara benzer şekilde görüntülenip incelenebilinmesi.

Genelde üniversitelerin arkeoloji bölümlerinden hocaların yada kartografya meraklısı kişilerin  yaptıkları özverili çalışmaların sonucunda ortaya çıkan bu güzel haritalar, incelerken kendinizi başka dünyalarda bulmanıza sebep olabilir.

Avrupa’ya ve medeniyetler beşiği Mezopotamya’ya komşu olan Anadolu’nun özellikle eski çağlardaki popülaritesi sizi şaşırtabilir , hatta köyünüzün Roma döneminde ticari yada dini bir merkez olduğunu öğrenirseniz şaşırmayın.

Bu haritalardan öne çıkan üç tanesini sizlerle paylaşmak istiyoruz ;

Lund Üniversitesi Arkeoloji ve Antik Tarih Bölümü’nün hazırladığı atlas. Geojson API’si sayesinde bu haritadaki verileri kendi web haritalarınıza aktarmanız mümkün ;

lund

Lund Üniversitesi’nin haritası

Bu harita arama motoru ise Portsmouth Üniversitesi ile İsviçreli bir teknoloji firmasının ortaklaşa çalışması sonucu ortaya çıkmış. İstenilen bölgedeki online haritaları arayarak size getirebiliyor.

Untitled

oldmaps

Old Maps Online

En iyisini en sona bıraktık

David Rumsey’ın online harita kataloğunda ise tarihi haritalar siteye taranarak yüklenmiş ve Open Streetmap altlığını kullanan bir “Georeferencing” programı sayesinde coğrafi olarak referanslanmamış yani harita haline dönüştürülmemiş eski çizimleri haritaya dönüştürebiliyoruz. Yapmamız gereken şey ise eski harita üzerinde konumundan emin olduğumuz yerleri Open Streetmap üzerinde işaretlemek.

Üstün körü seçimler yapıldığı için sonuçlar pek iyi gelmese de eski haritaları günümüz dünya haritası üzerinde görmek gerçekten heyecan verici ;

georef

David Rumsey Online Harita Kataloğu

İyi Eğlenceler 🙂

 

Gauss bunu sevdi

C.F. Gauss’un nasıl bir bilim adamı olduğunu artık öğrendiğimize göre artık biraz daha derine inerek Gauss’un paylaştığı fikirlerinden bir kaç tanesini anlamaya çalışmak istiyorum. Bunlardan ilki Gauss’un bulmaktan en çok gurur duyduğu şey yani Heptadekagon (Onyedigen)’un pergel ve cetvelle çizilebileceğinin ispatı.

Heptanegon ? 

Geometride heptadekagon ; 17 kenarlı bir poligon yani onyedigendir.

Gauss bu sorunun çözümünü henüz 19 yaşındayken bulmuştur.

Haritacı ve Zalım Yrd. Doç( Raffaello Sanzio, 1509)
Haritacı ve Zalım Yrd. Doç.( Raffaello Sanzio, 1509)

Başta Öklit ve Arşimet olmak üzere Antik Yunan düşünürleri bu konu üzerine kafa yormuşlardır. Eski zamanlarda bir teorik bilginin gösterilmesi için şimdiki gibi imkanlar olmadığından insanlar bilimsel aletleri mümkün olduğunca basit tutarak basit aletler üzerinden zor problemleri çözmeye uğraşmışlardır. Dolayısı ile problem çözerken sade cetvel (üzerinde yazı olmayan, sadece cetvelin boyu kadar olan uzunlukların kesin ölçülebildiği düz bir cisim) ve pergel kullanmak eski zamanlardan beri kabul edilmiş bir standarttı.

İ.Ö 323 – 283 yılları arasında yaşadığı düşünülen Öklit, geometri ile ilgili yazdığı Elements isimli eserinde 3,4,5 ve 15 kenarlı poligonların sade bir cetvel ve pergelle çizilebileceğini belirtmiştir. Bu yöntem ile bir eş kenar üçgen elde etmek için ;

  • Cetvelle düz bir çizgi çekilir.
  • Çizginin iki ucu merkez olacak şekilde iki daire çizilir.
  • Dairelerin kesişim noktalarından herhangi birisi ile çizginin kenarlarını bireştirdiğimizde aşağıdaki gibi eş kenar bir üçgen elde etmiş oluruz.  
Eşkenar üçgen elde edilmesi (Constructibility of Regular Polygons-Eric T. Eekhoff)
Öklit’in eşkenar üçgen elde etme yöntemi (Constructibility of Regular Polygons-Eric T. Eekhoff)

Bunun devamı olarak aynı yöntemle diğer çok genlerde oluşturulup daha sonra kenarlarının ikiye bölünmesi yöntemi ile 6, 8, 10, 12, 16, 20 köşeli poligonların şu şekilde ;

Öklit'in onbeşgenden diğer çokgenleri elde etmesi (Constructibility of Regular Polygons-Eric T. Eekhoff)
Öklit’in onbeşgenden diğer çokgenleri elde etmesi (Constructibility of Regular Polygons-Eric T. Eekhoff)

 

oluşturulabileceği zaten bilinmekteydi. Ancak bir onyedigenin oluşturulmasının imkansız olduğu düşünülüyordu. Bunun sebebi ; basit bir şekilde onyedigenin kenar uzunluklarının diğer şekillerden elde edilen kenarlara tam bölünerek bulunamamasıydı. Gauss yazımını 1798 yılında tamamladığı ancak 1801’de yayımlanan Disquisitiones Arithmeticae adlı eserinin son kısmında düzgün bir onyedigenin sade cetvel ve pergel kullanılarak çizilebileceğini kanıtlayarak antik zamanlardan beri matematikçilerin başaramadığını başarmıştır ve onyedigenin eski yöntemler ile çizilebileceğini ispatlamıştır. Bunun için yine kendi döneminde bir çok matematikçinin üzerinde çalıştığı Fermat asallarını kullanmıştır. Fermat asalları nedir peki ?

2^(2^(n))+1 şeklindeki sayılar Fermat sayılarıdır. Eğer bu ifadenin sonucu asal ise sayıysa bu sayıya Fermat Asalı denir.

Günümüzde bilinen sadece 5 tane Fermat Asalı vardır ;

  •  F0 = 21 + 1 = 3
  • F1 = 22 + 1 = 5
  • F2 = 24 + 1 = 17
  • F3 = 28 + 1 = 257
  • F4 = 216 + 1 = 65537

Matematikçiler daha fazla fermat asalı var mı emin değiller.

Gauss’un bulduğu çözüm aslında basit ve açıktı ;

Düzgün  bir on yedigen çizeceğimiz zaman ;

360 = 17* $ denklemindeki $’nin kosinüsü karekök olarak ifade edilebilirse bu problem çözülebilirdi. (Bu durumda cos($) birim çember üzerinde bulunan bir on yedigen köşesinin X koordinatını ifade eder. ) Gauss bu problemi çözdüğüne öyle gururlanır ki sadece bunu en iyi buluşu olarak tanımlamakla kalmaz , öldükten sonra mezar taşına kendi yöntemi ile düzgün bir on yedigen çizilmesini vasiyet eder. Ancak o dönemde ki hiç bir taş ustası bu işi kabul etmez çünkü ortaya çıkacak olan şeklin bir daireden ayırt edilemeyeceğini söylerler.

Taş ustalığı teknikleri ilerledikçe ilerideki yıllarda Braunschwig’deki Gauss anıtına bu şekil yıldız olarak kazınır.stern

Peki neden bu kadar önemli ? 

Gerçek şu ki ; biz bilgisayar çağı insanları kaç gen çizmeye ihtiyaç duyarsak duyalım bunu rahatça yapabileceğimiz çizim programlarına sahibiz . Dolayısı ile bu bilgi pratikte neredeyse hiç kimsenin işine yarayacak bir bilgi değildir ancak matematikçiler ve yazılımcılar hariç. Matematikçiler zaten bunun gibi bir çok ilginç problemle işleri dolayısı ile uğraşmakta , yazılımcılar ise bizlerin kullandığı programlara poligon çizme algoritmaları yaparken Gauss’un bulduğu formüller gibi bir çok formülden faydalanırlar.Amaçları optimizasyon yada çözünürlüğü arttırmak olabilir.( Çok genin köşe sayısı arttıkça şekil daireye yaklaşır ; ne kadar köşe o kadar düzgün daire)

http://www.losavancesdelaquimica.com/wp-content/uploads/heptadecagon.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon

http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html

http://gaussschule-braunschweig.de/?page_id=1733

Harita Mühendisliği Bölümleri Haritası

Harita mühendisliği lise fiziği, matematik, coğrafya ve geometri disiplinlerinin harmanlanmış bir halidir. Her yıl ülkemizde yüzlerce genç ne yazdığını bilmeden yada çevresinden duyduğu yalan yanlış bilgilere kanıp bu güzel bölüme gelmektedir. Şenörler olarak bize düşen görev ise her anlamda bilgiyi yaymak olduğundan hem Türkiye’deki harita mühendisliği bölümlerinin bir haritası olsun , hemde sınava hazırlanan gençler yollarını daha rahat çizebilsin diye böyle bir çalışma yaptık. Bölümlerle ilgili verilere amblemlerine tıklayarak ulaşabilirsiniz ;

Adsız

http://tapinaksenorleri.com/maps/universite_haritasi/

 

ÖNEMLİ NOT : 2015 yılı yerleştirme sıralaması verileri ÖSYM’nin sitesinde olmadığı ve puanlama sıralamaya göre daha sık değiştiği için 2014 yılı yerleştirme sıralamaları baz alınarak hazırlanmıştır. İlgili ÖSYM verisine buradan ulaşabilirsiniz. Ayrıca yeni açılan ve öğrenci almayan bazı bölümlerde haritada gösterilmemiştir.

Portakal Üzerinde Karınca veya Basketbol Topu Üzerinde Pire

Başlığı son zamanlarda türeyen ilginç müzik gruplarının isimlerine benzetebilirsiniz ancak şenörlük ciddi bir müessesedir rock,indie,heavy metal,new age falan bilmez, daha çok musiki … her neyse amacım bu başlıktan yola çıkarak üstad Gauss’un da 250 yıl önce kafasını meşgul etmiş bazı sorulara cevap bulmak.

 “Başlıkta sözü geçen iki canlının ortak özelliği nedir ? “  diye sorarak konuya başlayabiliriz. Hemen soruda bir hile var mı diye şöyle bir baktınız değil mi ? Hiç bakmayın bu soruda kelime oyunu yok. Sadece bir haritacı gözüyle düşünsek ve desek ki : “ Gauss olsa ne düşünürdü ? ” Mesela portakal ve basketbol topu : her ikisi de yuvarlak şekilli, dolayısı ile eğri yüzeyleri vardır. Ayrıca karıncayı portakalla pireyi de basketbol topuyla karşılaştırdığımız zaman boyutlarının çok farklı olduğunu söyleyebiliriz.

İlk soruyu cevapladığımıza göre asıl soruya geçebiliriz ;

“Karınca yada pire üzerinde bulundukları yüzeylerin eğri yüzeyler olduğunu anlayabilirler mi ?”

Şu noktada evet diyenlerde hayır diyenlerde haklı olabilir çünkü karınca ve pire örneğini boyut vurgusu için verdiğimiz aşikar, ancak istediğimiz sonuca erişmek için bazı ek koşullar daha koymamız gerekebilir ;

Koşul 1: Karınca bildiğimiz üzere kolları üzerinde gövdesi yere paralel olarak hareket eden bir canlı dolayısı ile ayakları üzerinde kalkıp etrafı kolaçan edemez.

Koşul 2: Pire zıplamayı pek sevmiyor. Yani boyunun defalarca katı zıplayıp bulunduğu yüzeye yukarıdan bakmak gibi bir şansı yok.

Koşul 3: Her iki canlıyı da Kafka karakteri gibi böcek vücudunda insanlar olarak düşünmeliyiz ve yanlarına çektikçe uzayan sonsuz uzunlukta çelik şerit metre verdiğimizi hayal etmeliyiz.

Bu koşullar altında cevap “evet anlayabilirler” oluyor.

 

Peki ama nasıl ?  

Düzlem bir yüzeyde mi eğri bir yüzeyde mi olduğumuzu sadece uzunluk ölçerek nasıl anlayabiliriz  ?

Öncelikle düz bir yüzey nedir ? Eğri bir yüzey nedir ? Bunları tanımlayıp daha sonra farklarını incelememiz gerekiyor.

Bu soru 1818 yılında Hannover’de jeodezik ağları birbirine bağlamaya çalışan Gauss’un da aklına takılmıştır. Gauss uzun mesafelerde üçgenleme yaparken bakılacak noktaların ayırt edilebilmesini sağlamak amacı ile nirengi noktalarına yerleştirilen ve aynalar yardımı ile güneş ışığını hedefe yansıtan heliotropları icat etmiştir.

Heliotrope2-2
Heliotrop ve Kavruk Şenör (Wikipedia-Heliotrope)

Ancak Gauss ne kadar iyi ölçüm yapılırsa yapılsın ağların yanlış değerler sebebiyle kapanmadığını hatta mesafeler arttıkça daha kötü değerler elde edildiğini keşfetti. Bunun sonucunda Theorema Egregium ortaya çıktı. Bu teori temelde şunu söylemekte ;

Gauss eğimi sıfırdan farklı olan hiçbir yüzey bozulma olmaksızın Gauss eğimi sıfır olan bir yüzeye aktarılamaz.

Yani düzlem, silindir, koni gibi Gauss eğimi sıfır olan yüzeyler dışındaki tüm yüzeyler belirli distorsiyonlar olmadan düzleme açılamaz.

Peki Gauss eğriliği sıfır olan yüzeylerden ne anlamalıyız ? 

Gauss eğriliği paralellik başarısızlığını ölçen bir araçtır. Gauss eğriliği sıfır olan yüzeylere geliştirilebilir yüzeyler denir.

 

Geliştirilebilir yüzeylerin en önemli özelliği hiç zorlama olmadan direkt bir düzleme açılabilmeleridir.

Geliştirilebilir yüzeylerden silindir ve koni
Geliştirilebilir yüzeylerden koni ve silindir (www.rhino3.de)

Örnek olarak koni, silindir, düzlem verilebilir.

Peki Gauss eğriliği nedir ?

Gauss eğriliği formülü şu şekilde gösterilir ;

gk

k1 ve k2 değerleri belirli yönlerdeki eğrilikleri temsil eder. Örneğin ; yukarı ve sağa doğru. Bir yüzeyin Gauss eğriliği formülden de anlaşılacağı üzere pozitif ,negatif yada sıfır olabilir.

Eğri yüzeyler hangileridir ?

Eğri yüzeyler Gauss eğriliği sıfırdan farklı olan , düz bir yüzeye açılmak istendiğinde distorsiyon(bozulma, zorlama) olmadan aktarılamayan yüzeylerdir. Küre ve elipsoit bunun en güzel örnekleridir. Bu yüzeylerde görsel olarak distorsiyonların gösterimi şekildeki gibi Tissot İndikatrisi ile olur. Bu indikatris geliştirilebilir olmayan yüzey üzerinde olan bir dairenin düzlem üzerine projeksiyonu yapıldığında nasıl bir bozulmaya uğradığını gösterir.

Solda Merkator Projeksiyonu indikatris daireleri sağda küre üzerinde bozulmamış daireler
Solda Merkator Projeksiyonu indikatris daireleri sağda küre üzerinde bozulmamış daireler (http://gis.stackexchange.com/questions/5068/how-to-create-an-accurate-tissot-indicatrix)

Dünya haritasında Rusya, Kanada gibi ülkeler harita üzerinde gerçekte olduklarından daha büyük görünür sebebi de yukarıda açıkladığımız Theorema Egregium‘dur. Nicole Auguste Tissot(1824–1897) ise yukarıdaki şekiller ile bu teorinin anlaşılmasını kolaylaştırmıştır.  Kuzey ülkeleri silindirik merkator projeksiyonunda olduklarından daha büyük , ekvatora yakın ülkeler ise gerçek büyüklerine yakın görünürler. Ayrıca daireler daire olarak kaldığından şekilde bir bozulma olmadığı için genelde dünya haritaları Silindirik Mercator projeksiyonu ile gösterilir.

Şimdi karıncanın yada pirenin eğri bir yüzeyde olduğunu nasıl anlayacağına gelirsek ;

karıncayı düz bir yüzeyde hayal edelim, mesela masada duran bir kağıt üzerinde. Karınca Pisagor teoreminden yola çıkarak bulunduğu noktadan herhangi bir yöne 3 cm yürür ve bir işaret koyar. Daha sonra başlangıç noktasına geri dönüp elinden geldiğince ilk yürüdüğü hatta dik olacak şekilde 4 cm yürür ve yine bir işaret koyar. İki noktayı birleştiren en kısa çizginin (3^2)+(4^2) = x^2’den x = 5 olacağını kestirir ve ölçtüğünde de bu değeri bulur.

output_kIuJ1p
Benim karıncam işini bilir.

Eğimli yüzeylerde ise iki nokta arasındaki en kısa mesafe eğri bir çizgidir. Bu eğriler kartografya derslerinden bildiğimiz ortodrom eğrileridir. Gemi ve uçaklar bu eğrileri sıkça kullanır. Kağıt üstündeki işlem eğri bir yüzeyde tekrarlandığında ise küresel üçgen formülleri kullanılmadığı için sonuç beş çıkmayacaktır. Çünkü düzlemde şu formül geçerli iken ;

Kosinüs teoremi
Kosinüs teoremi

küresel üçgenlerde iki kenar bir açı verilmişse şu formül kullanılır ;

kureselcos

Şu ana kadar öğrendiklerimizle yüzey eğimli mi değil mi sorusuna rahatça cevap verebiliriz. Düzlem yüzeyler ile eğri yüzeyler arasındaki farklılık tam olarak nasıl belirlenir merak eden varsa tensör hesabı denilen karmaşık diferansiyel geometri hesapları ile yüzeyin eğriliğini net bir şekilde belirleyebilir.

İyi de ne ben bunu gerçek hayatta kullanacak mıyım ?

Cevap hem evet hem hayır. Dayalı poligon hesabı yaparken, yüzey eğriliğini bir katsayı olarak bulup (g) uzunluklar ile çarptığımızı  hatırlamakla beraber ,  doğrusal kapanma hatasını azaltmakta kullanılabilir ancak kısa mesafelerde yüzey eğriliği çok önemli değildir. Hatta kaba hatalar yüzey eğriliği sebebiyle ortaya çıkan hatanın kat kat üzerindedir. Kaba hatalar indirgendikten sonra tensör hesabı genelde yapılmaz . Ancak eğer çok hassas hesaplama gerektiren bir işte çalışıyorsak(örneğin metro raylarının döşenmesi) yada uzun baz uzunluğuna sahip jeodezik ağlar kuruyorsak (Gauss gibi) tensör hesaplarına ihtiyaç duyarız.

KAYNAKLAR

  • http://www.lightandmatter.com/html_books/genrel/ch05/ch05.html#eg:octant
  • http://megep.meb.gov.tr/mte_program_modul/moduller_pdf/Hesap%20%C4%B0%C5%9Flemleri.pdf
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Heliotrope_(instrument)
  • http://mathworld.wolfram.com/GaussianCurvature.html
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Theorema_Egregium
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Tissot%27s_indicatrix