Gauss bunu sevdi

C.F. Gauss’un nasıl bir bilim adamı olduğunu artık öğrendiğimize göre artık biraz daha derine inerek Gauss’un paylaştığı fikirlerinden bir kaç tanesini anlamaya çalışmak istiyorum. Bunlardan ilki Gauss’un bulmaktan en çok gurur duyduğu şey yani Heptadekagon (Onyedigen)’un pergel ve cetvelle çizilebileceğinin ispatı.

Heptanegon ? 

Geometride heptadekagon ; 17 kenarlı bir poligon yani onyedigendir.

Gauss bu sorunun çözümünü henüz 19 yaşındayken bulmuştur.

Haritacı ve Zalım Yrd. Doç( Raffaello Sanzio, 1509)
Haritacı ve Zalım Yrd. Doç.( Raffaello Sanzio, 1509)

Başta Öklit ve Arşimet olmak üzere Antik Yunan düşünürleri bu konu üzerine kafa yormuşlardır. Eski zamanlarda bir teorik bilginin gösterilmesi için şimdiki gibi imkanlar olmadığından insanlar bilimsel aletleri mümkün olduğunca basit tutarak basit aletler üzerinden zor problemleri çözmeye uğraşmışlardır. Dolayısı ile problem çözerken sade cetvel (üzerinde yazı olmayan, sadece cetvelin boyu kadar olan uzunlukların kesin ölçülebildiği düz bir cisim) ve pergel kullanmak eski zamanlardan beri kabul edilmiş bir standarttı.

İ.Ö 323 – 283 yılları arasında yaşadığı düşünülen Öklit, geometri ile ilgili yazdığı Elements isimli eserinde 3,4,5 ve 15 kenarlı poligonların sade bir cetvel ve pergelle çizilebileceğini belirtmiştir. Bu yöntem ile bir eş kenar üçgen elde etmek için ;

  • Cetvelle düz bir çizgi çekilir.
  • Çizginin iki ucu merkez olacak şekilde iki daire çizilir.
  • Dairelerin kesişim noktalarından herhangi birisi ile çizginin kenarlarını bireştirdiğimizde aşağıdaki gibi eş kenar bir üçgen elde etmiş oluruz.  
Eşkenar üçgen elde edilmesi (Constructibility of Regular Polygons-Eric T. Eekhoff)
Öklit’in eşkenar üçgen elde etme yöntemi (Constructibility of Regular Polygons-Eric T. Eekhoff)

Bunun devamı olarak aynı yöntemle diğer çok genlerde oluşturulup daha sonra kenarlarının ikiye bölünmesi yöntemi ile 6, 8, 10, 12, 16, 20 köşeli poligonların şu şekilde ;

Öklit'in onbeşgenden diğer çokgenleri elde etmesi (Constructibility of Regular Polygons-Eric T. Eekhoff)
Öklit’in onbeşgenden diğer çokgenleri elde etmesi (Constructibility of Regular Polygons-Eric T. Eekhoff)

 

oluşturulabileceği zaten bilinmekteydi. Ancak bir onyedigenin oluşturulmasının imkansız olduğu düşünülüyordu. Bunun sebebi ; basit bir şekilde onyedigenin kenar uzunluklarının diğer şekillerden elde edilen kenarlara tam bölünerek bulunamamasıydı. Gauss yazımını 1798 yılında tamamladığı ancak 1801’de yayımlanan Disquisitiones Arithmeticae adlı eserinin son kısmında düzgün bir onyedigenin sade cetvel ve pergel kullanılarak çizilebileceğini kanıtlayarak antik zamanlardan beri matematikçilerin başaramadığını başarmıştır ve onyedigenin eski yöntemler ile çizilebileceğini ispatlamıştır. Bunun için yine kendi döneminde bir çok matematikçinin üzerinde çalıştığı Fermat asallarını kullanmıştır. Fermat asalları nedir peki ?

2^(2^(n))+1 şeklindeki sayılar Fermat sayılarıdır. Eğer bu ifadenin sonucu asal ise sayıysa bu sayıya Fermat Asalı denir.

Günümüzde bilinen sadece 5 tane Fermat Asalı vardır ;

  •  F0 = 21 + 1 = 3
  • F1 = 22 + 1 = 5
  • F2 = 24 + 1 = 17
  • F3 = 28 + 1 = 257
  • F4 = 216 + 1 = 65537

Matematikçiler daha fazla fermat asalı var mı emin değiller.

Gauss’un bulduğu çözüm aslında basit ve açıktı ;

Düzgün  bir on yedigen çizeceğimiz zaman ;

360 = 17* $ denklemindeki $’nin kosinüsü karekök olarak ifade edilebilirse bu problem çözülebilirdi. (Bu durumda cos($) birim çember üzerinde bulunan bir on yedigen köşesinin X koordinatını ifade eder. ) Gauss bu problemi çözdüğüne öyle gururlanır ki sadece bunu en iyi buluşu olarak tanımlamakla kalmaz , öldükten sonra mezar taşına kendi yöntemi ile düzgün bir on yedigen çizilmesini vasiyet eder. Ancak o dönemde ki hiç bir taş ustası bu işi kabul etmez çünkü ortaya çıkacak olan şeklin bir daireden ayırt edilemeyeceğini söylerler.

Taş ustalığı teknikleri ilerledikçe ilerideki yıllarda Braunschwig’deki Gauss anıtına bu şekil yıldız olarak kazınır.stern

Peki neden bu kadar önemli ? 

Gerçek şu ki ; biz bilgisayar çağı insanları kaç gen çizmeye ihtiyaç duyarsak duyalım bunu rahatça yapabileceğimiz çizim programlarına sahibiz . Dolayısı ile bu bilgi pratikte neredeyse hiç kimsenin işine yarayacak bir bilgi değildir ancak matematikçiler ve yazılımcılar hariç. Matematikçiler zaten bunun gibi bir çok ilginç problemle işleri dolayısı ile uğraşmakta , yazılımcılar ise bizlerin kullandığı programlara poligon çizme algoritmaları yaparken Gauss’un bulduğu formüller gibi bir çok formülden faydalanırlar.Amaçları optimizasyon yada çözünürlüğü arttırmak olabilir.( Çok genin köşe sayısı arttıkça şekil daireye yaklaşır ; ne kadar köşe o kadar düzgün daire)

http://www.losavancesdelaquimica.com/wp-content/uploads/heptadecagon.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon

http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html

http://gaussschule-braunschweig.de/?page_id=1733

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir